równanie niemające rozwiązań kolos: Wykaż, że równanie: 2x² − 215y² = 1 nie ma roawiązań w zbiorze liczb całkowitych Plis, rozwiązcie, proszę o kilka metod rozwiązania (około 3, jeśli to w ogóle możliwe)

Saizou : 2x² − 215y² = 1 korzystam ze wzoru skróconego mnożenia a²−b²=(a+b)(a−b) (x√2+y√215)(x√2+y√215)=1 i teraz istnieją dwie możliwości, bo iloczyn liczb całkowitych ma być równy 1

⎧	x√2+y√215=1
⎩	x√2−y√215=1

lub

⎧	x√2+y√215=−1
⎩	x√2−y√215=−1

ale nie jestem pewien czy to jest dobry sposób rozumowania

Basia: to nie jest dobre rozwiązanie; całkowite mają być x i y z tego przecież nie wynika, że x√2+y√215 itd. ma być całkowite

Artur z miasta Neptuna: błędne jest założenie ... że te iloczyny mają być równe 1 lub −1 ... a co jeżeli pierwszy =2, a

	1
drugi =
	2

Artur z miasta Neptuna: a²−b² ∊Z nie oznacza, że (a+b)∊Z ⋀ (a−b)∊Z przykład: (√2−1)(√2+1) = 2−1 = 1

Saizou : a można prosić jakąś wskazówkę?

Saizou :

Artur z miasta Neptuna: cii ... myślę

b.: wskazówka: popatrz na reszty z dzielenia przez 5

Saizou : ja przez 5 to 0 albo 5

Artur z miasta Neptuna:

⎧	√2x+√215y = a
⎩	√2x−√215y = 1/a

⇔

⎧	2√2x = a + 1/a = (a2+1)/a
⎩	√2x+√215y = a

⇔

⎧	x = (a2+1)/(2√2a)
⎩	√2x+√215y = a

⇔

⎧	x = (a2+1)/(2√2a)
⎩	a/2+1/(2a)+√215y = a

⇔

⎧	x = (a2+1)/(2√2a)
⎩	√215y = (a2−1)/(2a)

niech:

	a2+1
x =		∊Z
	2√2a

czyli: a²+1 podzielne 'a' ⇒ 1 podzielne przez 'a' ⇒ a=1 lub a=−1

1+1
	∉ Z
2√2

sprzeczne (analogicznie dla 'y') brak rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych

Saizou : Arturze wielkie dzięki, nigdy bym na to nie wpadł

Basia: myślę, że jest prostszy sposób, ale na razie wymyśliłam tyle x,y∊C ⇒ istnieje k∊C dla którego x = y+k i mamy 2(y+k)² − 215y² − 1 = 0 − 213y² + 4ky + 2k²−1 = 0 y traktuję jak zmienną, k jak parametr to równanie musiałoby mieć jakiś rozwiązanie w y∊C Δ temu nie zaprzeczy, może być dodatnia nie może być = 0 bo wyszła Δ=4(430k²−213) czyli Δ=0 dla k∉C czyli Δ>0 wtedy

	4k
y1+y2 =		∊C
	213

	1−2k2
y1*y2 =		∊C
	213

aby y₁+y₂∊C k musi być wielokrotnością 213 k = 213m gdzie m∊C wtedy

	1−2*2132m2		1		1
y1*y2 =		=		− 2*213m2 =		− 426m2
	213		213		213

a to z całą pewnością nie jest liczba całkowita dla żadnego m∊C czyli sprzeczność

Artur z miasta Neptuna: niestety ... w ów rozwiązaniu mam pewne założenie, którego być nie powinno −−−− czyli: a∊Z ... a przecież a∊R

AC: Równanie robimy modulo 5 2x² = 1(mod 5) mnożymy przez 3 6x² = 3 (mod 5) ⇒ x² = 3 (mod 5) a liczba 3 nie jest resztą kwadratowa co kończy dowód.

Mila: Tylko, czy Kolos rozumie ten sposób?

Basia: Powinien. Te zadania z rozwiązaniami w C są spoza programu nawet rozszerzenia. No to chyba się interesuje.

kolos: dzieki AC rzeczywiscie mnie to interesuje i wszystko rozumiem. ciekawe, że chciało wam sie to robić do drugiej w nocy... musi wam sie nudzić. jeszcze raz dz

Artur_z_miasta_Neptuna: tu nie chodzi o nudzenie się bądź nie ... tutaj chodzi o styl życia

Mila: III sposób 2x²−215y²=1 x, y całkowite 2x²−1=215y² Prawa strona podzielna przez 5, to lewa też 2x²−1=5k , k− całkowite 2x²=5k+1

	5k		1
x2=		+
	2		2

x² całkowite dla k nieparzystego

	5(2l+1)		1
x2=		+
	2		2

stąd po wymnożeniu i dodaniu x²=5l+3 3 nie może być resztą ( reszty z dzielenia kwadratów liczb naturalnych przez 5 to 0,1,4)